如图,在Rt△ABC中,∠A=90-,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动.设BQ=x,QR=y. (1)求点D到BC的距离DH

如图,在Rt△ABC中,∠A=90 ,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动.设BQ=x,QR=y.
(1)求点D到BC的距离DH的长;
(2)求y关于x的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);
(3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.

 
 

参考答案与解析

【答案】(1)(2)(3)存在
【解析】
试题分析:(1)根据△RQC∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例可求解DH;
(2)根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式;
(3)画出图形,根据图形进行讨论:
① 当PQ=PR时,过点P作PM⊥QR于M,则QM=RM.由于∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,∴∠1=∠C.
∴cos∠1=cosC==,∴,即可求出x的值;
② 当PQ=RQ时,-x+6=,x=6;
③当PR=QR时,则R为PQ中垂线上的点,于是点R为EC的中点,故CR=CE=AC=2.
试题解析:(1),AB=6,AC=8,
点D为AB中点,


,
(2)

关于的函数关系式为:
(3)存在,分三种情况:
①如图(1),当时,过点P作于M,则





②如图(2),当时,



③如图(3),当时,则R为PQ中垂线上的点,于是点R为EC的中点,




综上所述,当或6或时,为等腰三角形.