如图,在平面直角坐标系中,一次函数 分别与x轴、y轴相交于A、B两点,二次函数 的图像经过点A. (1)试证明二次函数 的图像与x轴有两个交点; (2)若二次函数 图像的顶点D在直线AB上,求m,n的值; (3)设二次函数 的图像与x轴的另一个交点为点C,顶点

如图,在平面直角坐标系中,一次函数分别与x轴、y轴相交于A、B两点,二次函数的图像经过点A.
(1)试证明二次函数的图像与x轴有两个交点;
(2)若二次函数图像的顶点D在直线AB上,求m,n的值;
(3)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为点C,顶点D关于x轴的对称点设为点E,以AE,AC为邻边作平行四边形EACF,顶点F能否在该二次函数的图像上?如果在,求出这个二次函数的表达式;如果不在,请说明理由?

 
 

参考答案与解析

【答案】(1)证明见解析(2)4,3;6,9(3)P(-1,
【解析】
试题分析:(1)根据待定系数法求得二次函数的解析式,然后根据根的判别式可证明;
(2)根据二次函数的顶点坐标可求的m,n的值;
(3)根据B点的坐标求得m的值,即可得二次函数的解析式,然后设E点的横坐标为t,求得E点的坐标,再求得直线AE,由此求得P点的坐标.
试题解析:(1)A( 3,0),B(0, 3),
二次函数的图像经过点C(-6,18-n),则n=3m 9,
.
==


则二次函数的图像与x轴有两个交点;
(2)二次函数,即
顶点坐标为(),
因为二次函数图像的顶点在直线AB上,
所以,解得:

(3)抛物线过点B(0,-3),
则m=2
此时函数关系式为,易证点A在抛物线上.
设点E的横坐标为t,则(-3+1)(t +1)=
, 求得点E的坐标为(),
则直线AE对应的函数关系式:
求得点P(-1,).