如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值; (2)在(1)的条件下,求△BCE的面积; (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+

如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
 

 

参考答案与解析

【答案】(1);(2)6;(3) ;(4)
【解析】试题分析:(1)把M(2,2)代入函数解析式即可;(2)把代回函数解析式,求出点B、C、E的坐标即可;(3)连接CE交对称轴与点H,此时BH+EH的值最小;(4)①过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.由于∠BCE=∠FBC△BCE∽△FBC,②作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,由于∠EBC=∠CBF,△BCE∽△BFC
试题解析:(1)将M(2, 2)代入,得.解得
(2)当时, .所以C(4, 0),E(0, 2),B(-2,0).
所以S△BCE=
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
设对称轴与x轴的交点为P,那么
因此.解得.所以点H的坐标为
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为,由,得
解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).
,得.所以
,得
整理,得0=16.此方程无解.

图2 图3 图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得
解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,
,得.解得
综合①、②,符合题意的m为